Question

.已知函數(shù)f(x)=x²+|x-a|+1,a∈R.
(1)試判斷f(x)的奇偶性；
（2）若-≤a≤，求f(x)的最小值.

Answer 1

（1）f(x) 為非奇非偶函數(shù)（2）a²+1

(1)當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f(-x)=(-x)²+|-x|+1=f(x),
此時(shí),f(x)為偶函數(shù).當(dāng)a≠0時(shí)，f(a)=a²+1,f(-a)=a²+2|a|+1,
f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此時(shí)，f(x) 為非奇非偶函數(shù).
（2）當(dāng)x≤a時(shí),f(x)=x²-x+a+1=(x-)²+a+,
∵a≤,故函數(shù)f(x)在（-∞，a］上單調(diào)遞減，
從而函數(shù)f(x)在（-∞，a］上的最小值為f(a)=a²+1.
當(dāng)x≥a時(shí)，函數(shù)f(x)=x²+x-a+1=(x+)²-a+,
∵a≥-，故函數(shù)f(x)在［a，+∞）上單調(diào)遞增，從而函數(shù)f(x)在［a，+∞)上的最小值為f(a)=a²+1.
綜上得，當(dāng)-≤a≤時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值為a²+1.