Question

已知函數f（x）=（sinωx-cosωx）²+2sin²ωx（ω＞0）的周期為．
（Ⅰ） 求函數y=f（x）在上的值域；
（Ⅱ）求最小的正實數ϕ，使得y=f（x）的函數圖象向右平移ϕ個單位后所對應的函數為偶函數．

Answer 1

【答案】分析：把f（x）的解析式先利用完全平方公式及二倍角的余弦函數公式化簡，再根據同角三角函數間的基本關系及兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據已知的周期，利用周期公式求出ω的值，從而確定出函數f（x）的解析式，
（Ⅰ）由函數定義域x的范圍，求出f（x）中正弦函數角的范圍，根據正弦函數的圖象與性質，即可得到f（x）的值域；
（Ⅱ）先根據平移規(guī)律：左加右減，表示出f（x）的函數圖象向右平移ϕ個單位后所對應的函數g（x），然后根據g（x）為偶函數，根據偶函數的定義g（-x）=g（x），即可表示出φ，再根據φ＞0，得到滿足題意的最小正實數φ的值．
解答：解：f（x）=（sinωx-cosωx）²+2sin²ωx=1-2sinωxcosωx+（1-cos2ωx）
=2-sin2ωx-cos2ωx=2-sin（2ωx+）
由T=，得到|ω|=，又ω＞0，
∴ω=，
則f（x）=2-sin（3x+），
（Ⅰ）由
則函數y=f（x）在上的值域為；
（Ⅱ）∵y=f（x）的函數圖象向右平移ϕ個單位后所對應的函數為：

則y=g（x）為偶函數，則有
則φ=-π-（k∈Z），又因為φ＞0，
∴滿足條件的最小正實數φ=．
點評：此題考查了同角三角函數間的基本關系，二倍角的正弦、余弦函數公式，以及兩角和與差的正弦函數公式，同時考查了正弦函數的圖象與性質，平移規(guī)律以及偶函數的定義，其中靈活運用三角函數的恒等變形把已知函數化為一個角的正弦函數，進而利用周期公式求出ω的值，確定出f（x）的解析式是本題的突破點．