Question

A、B兩位同學各有五張卡片，現(xiàn)以投擲均勻硬幣的形式進行游戲，當出現(xiàn)正面朝上時A贏得B一張卡片，否則B贏得A一張卡片．規(guī)定擲硬幣的次數(shù)達9次時，或在此前某人已贏得所有卡片時游戲終止．設ξ表示游戲終止時擲硬幣的次數(shù)．
（1）求ξ的取值范圍；
（2）求ξ的數(shù)學期望Eξ．

Answer 1

解：（1）設正面出現(xiàn)的次數(shù)為m，反面出現(xiàn)的次數(shù)為n，
則，
可得：當m=1，n=0或m=0，n=5時，ξ=5；
當m=6，n=1或m=1，n=6時，ξ=7；
當m=7，n=2或m=2，n=7時，ξ=9；
∴ξ的所有可能取值為：5，7，9．
（2）ξ表示游戲終止時擲硬幣的次數(shù)，由題意知ξ的所有可能取值為：5，7，9．
根據(jù)獨立重復試驗的概率公式得到
P（ξ=5）=2×==；
P（ξ=7）=2=；
P（ξ=9）=1--=；
∴Eξ=5×+7×+9×=．
分析：（1）設出硬幣正面出現(xiàn)的次數(shù)和出現(xiàn)反面的次數(shù)，根據(jù)題意列出不等式組，討論m，n取值不同時，得到的對應的ξ的值，結(jié)果ξ的可能取值是5，7，9
（2）ξ表示游戲終止時擲硬幣的次數(shù)，由第一問知ξ的所有可能取值為：5，7，9．根據(jù)獨立重復試驗的概率公式得到變量對應的概率，做出ξ的數(shù)學期望．
點評：本題考查離散型隨機變量的期望，考查獨立重復試驗的概率公式，考查分類討論思想，考查利用概率知識解決實際問題的能力，這種題目是近幾年高考題目中經(jīng)常出現(xiàn)的題型．