Question

如圖，圓O的方程為x²+y²=2，直線l是橢圓

x2

2

+y2=1的左準(zhǔn)線，A、B是該橢圓的左、右焦點，點P為直線l上的一個動點，直線AQ⊥OP交圓O于點Q．
（Ⅰ）若點P的縱坐標(biāo)為4，求此時點Q的坐標(biāo)，并說明此時直線PQ與圓O的位置關(guān)系；
（Ⅱ）求當(dāng)∠APB取得最大值時P點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意得A（-1，0），B（1，0），直線l的方程為x=-2，直線AQ的方程為x-2y+1=0．由

x-2y+1=0 x2+y2=2

，解得Q點的坐標(biāo)為 （-

7

5

，-

1

5

）或（1，1）．由此能推導(dǎo)出PQ與圓O相切．
（Ⅱ）設(shè)P點在x軸上方，設(shè)P（-2，m）（m＞0）．設(shè)準(zhǔn)線l與x軸交于點Q，記 BPQ=α，APQ=β，所以tan∠APB=tan（α-β）=

3 m - 1 m

1+ 3 m • 1 m

≤

2

2 m• 3 m

=

3

3

．由此能求出當(dāng)∠APB取得最大值時P點的坐標(biāo)．

解答：解：（Ⅰ）由題意得A（-1，0），B（1，0），直線l的方程為x=-2，
∴P（-2，4），
∴kOP=

4

0-2

=-2，
∵AQ⊥OP，
∴kAQ=

1

2

．
∴直線AQ的方程為y=

1

2

(x+1)，即x-2y+1=0．
由

x-2y+1=0 x2+y2=2

，消去x并整理得5y²-4y-1=0．
解得y=1，或y=-

1

5

．
當(dāng)y=1時x=1，當(dāng) y=-

1

5

時，xx=-

7

5

．
∴Q點的坐標(biāo)為 （-

7

5

，-

1

5

）或（1，1）．
當(dāng)Q為（1，1）時，直線PQ的方程x+y-2=0．
圓心O到直線的距離為

2

2

=

2

，∴PQ與圓O相切．
同理可得，當(dāng)Q為(-

7

5

，-

1

5

) 時，PQ也與圓O相切．
（Ⅱ）不妨設(shè)P點在x軸上方，設(shè)P（-2，m）（m＞0）．
設(shè)準(zhǔn)線l與x軸交于點Q，記 BPQ=α，APQ=β，
∴tan∠APB=tan（α-β）
=

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

=

3 m - 1 m

1+ 3 m • 1 m

=

2

m+ 3 m

≤

2

2 m• 3 m

=

3

3

．
當(dāng)且僅當(dāng)m=

3

時取得等號．
顯然 APB為銳角，故 APB的最大值為30°，
此時P點的坐標(biāo)（-2，±

3

）．

點評：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．