Question

【題目】已知等差數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，.

（1）求數(shù)列{an}的通項an；

（2）設bn＝an3n，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）先設等差數(shù)列{an}的公差為d（d＞0），然后根據等差數(shù)列的通項公式及已知條件可列出關于d的方程，解出d的值，即可得到數(shù)列{an}的通項an；

（2）先根據第（1）題的結果計算出數(shù)列{bn}的通項公式，然后運用錯位相減法計算前n項和Tn.

（1）由題意，設等差數(shù)列{an}的公差為d（d＞0），則

a4a5＝（1+3d）（1+4d）＝11，

整理，得12d2+7d﹣10＝0，

解得d（舍去），或d，

∴an＝1（n﹣1），n∈N*.

（2）由（1）知，bn＝an3n3n＝（2n+1）3n﹣1，

∴Tn＝b1+b2+b3+…+bn＝3×1+5×31+7×32+…+（2n+1）3n﹣1，

∴3Tn＝3×31+5×32+…+（2n﹣1）3n﹣1+（2n+1）3n，

兩式相減，可得：

﹣2Tn＝3×1+2×31+2×32+…+23n﹣1﹣（2n+1）3n

＝3+2×（31+32+…+3n﹣1）﹣（2n+1）3n

＝3+2（2n+1）3n

＝﹣2n3n，

∴Tn＝n3n.