Question

設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=x²+|x－a|+1,x∈R.

(1)討論f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的最小值. 

Answer 1

(1) f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù). (2) ，當(dāng)a≤－時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是－a,當(dāng)－＜a≤時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是a²+1;當(dāng)a>時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是a+.

解析:

  (1)當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f(－x)=(－x)²+|－x|+1=f(x),此時(shí)f(x)為偶函數(shù)；當(dāng)a≠0時(shí)，f(a)=a²+1,f(－a)=a²+2|a|+1,f(－a)≠f(a),f(－a)≠－f(a)  此時(shí)函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

(2)①當(dāng)x≤a時(shí)，函數(shù)f(x)=x²－x+a+1=(x－)²+a+,若a≤,則函數(shù)f(x)在(－∞,a上單調(diào)遞減，從而，函數(shù)f(x)在(－∞,a上的最小值為f(a)=a²+1.

若a>,則函數(shù)f(x)在(－∞,a上的最小值為f()=+a,且f()≤f(a).

②當(dāng)x≥a時(shí)，函數(shù)f(x)=x²+x－a+1=(x+)²－a+;

當(dāng)a≤－時(shí)，則函數(shù)f(x)在［a,+∞上的最小值為:

f(－)=－a,且f(－)≤f(a).

若a>－,?則函數(shù)f(x)在［a,+∞)上單調(diào)遞增，

從而，函數(shù)f(x)在［a,+∞］上的最小值為f(a)=a²+1.

綜上，當(dāng)a≤－時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是－a,

當(dāng)－＜a≤時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是a²+1;

當(dāng)a>時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是a+.