Question

【題目】如圖，已知⊙O中，直徑AB垂直于弦CD，垂足為M，P是CD延長線上一點，PE切⊙O于點E，連接BE交CD于點F，證明：

(1)∠BFM＝∠PEF；

(2)PF2＝PD·PC.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)見解析

【解析】試題分析：（1）如圖所示，連接OE．利用切線的性質可得：OE⊥PE，于是∠PEF+∠OEF=90°．由已知AB⊥CD，可得∠OBF+∠BFM=90°．由同圓的半徑相等可得∠OBF=∠OEB．即可得出結論．

（2）利用（1）可得∠PEF=∠PFE．于是PE=PF．利用“切割線定理”可得PE2=PDPC．即可．

試題解析：

證明：(1)連接OE.

∵PE切⊙O于點E，

∴OE⊥PE.

∴∠PEF＋∠FEO＝90°.

又∵AB⊥CD，

∴∠B＋∠BFM＝90°.

又∵∠B＝∠FEO，

∴∠BFM＝∠PEF.

(2)∵∠EFP＝∠BFM，

∴∠EFP＝∠PEF.

∴PE＝PF.

又∵PE2＝PD·PC，

∴PF2＝PD·PC.