Question

（2013•安徽）設(shè)函數(shù)f（x）=ax-（1+a²）x²，其中a＞0，區(qū)間I={x|f（x）＞0}
（Ⅰ）求I的長度（注：區(qū)間（a，β）的長度定義為β-α）；
（Ⅱ）給定常數(shù)k∈（0，1），當(dāng)1-k≤a≤1+k時，求I長度的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）解不等式f（x）＞0可得區(qū)間I，由區(qū)間長度定義可得I的長度；
（Ⅱ）由（Ⅰ）構(gòu)造函數(shù)d（a）=

a

1+a2

，利用導(dǎo)數(shù)可判斷d（a）的單調(diào)性，由單調(diào)性可判斷d（a）的最小值必定在a=1-k或a=1+k處取得，通過作商比較可得答案．

解答：解：（Ⅰ）因為方程ax-（1+a²）x²=0（a＞0）有兩個實根x₁=0，x2=

a

1+a2

＞0，
故f（x）＞0的解集為{x|x₁＜x＜x₂}，
因此區(qū)間I=（0，

a

1+a2

），區(qū)間長度為

a

1+a2

；
（Ⅱ）設(shè)d（a）=

a

1+a2

，則d′（a）=

1-a2

(1+a2)2

，
令d′（a）=0，得a=1，由于0＜k＜1，
故當(dāng)1-k≤a＜1時，d′（a）＞0，d（a）單調(diào)遞增；當(dāng)1＜a≤1+k時，d′（a）＜0，d（a）單調(diào)遞減，
因此當(dāng)1-k≤a≤1+k時，d（a）的最小值必定在a=1-k或a=1+k處取得，
而

d(1-k)

d(1+k)

=

1-k 1+(1-k)2

1+k 1+(1+k)2

=

2-k2-k3

2-k2+k3

＜1，故d（1-k）＜d（1+k），
因此當(dāng)a=1-k時，d（a）在區(qū)間[1-k，1+k]上取得最小值

1-k

2-2k+k2

，即I長度的最小值為

1-k

2-2k+k2

．

點評：本題考查二次不等式的求解，以及導(dǎo)數(shù)的計算和應(yīng)用等基礎(chǔ)知識和基本技能，考查分類討論思想和綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力．