Question

【題目】在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，點M、N分別在邊AB、BC上，沿直線MD、DN、NM，分別將△AMD、△CDN、△BNM折起，點A，B，C重合于一點P．

（1）證明：平面PMD⊥平面PND；
（2）若cos∠DNP= ，PD=5，求直線PD與平面DMN所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵翻折前MB⊥NB，MA⊥DA，∴翻折后MP⊥NP，MP⊥PD，

∵NP∩PD=P，∴MP⊥平面PND，

∵MP平面PMD，∴平面PMD⊥平面PND

（2）解：由題意得AM=BM=PM，BN=CN=PN，AD=CD=PN，

設(shè)AM=a，BN=b，作DH⊥BC，NH= ，

∴AD=BN+NH=b+ ，

∴ =3ab+ ，

S△MND=S梯形ABCD﹣S△AMD﹣S△MBN﹣S△DNC

=3ab+ ﹣

=ab+ ，

= = = ．

PO⊥平面MPN，

PO= = = ，

sin ，

如圖， ，

解得a= ，b= ，代入上式得sin∠PDO= ．

∴直線PD與平面DMN所成角的正弦值為 ．

【解析】（1）推導(dǎo)出翻折后MP⊥NP，MP⊥PD，由此能證明平面PMD⊥平面PND．（2）由題意得AM=BM=PM，BN=CN=PN，AD=CD=PN，設(shè)AM=a，BN=b，作DH⊥BC，由此入手能求出直線PD與平面DMN所成角的正弦值．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．