已知橢圓C：
的離心率等于
，點P
在橢圓上。
（1）求橢圓
的方程；
（2）設(shè)橢圓的左右頂點分別為
，過點
的動直線
與橢圓相交于
兩點，是否存在定直線
：
，使得與
的交點
總在直線
上？若存在，求出一個滿足條件的
值；若不存在，說明理由.
（1）
；（2）存在，
.
【解析】
試題分析：（1）由
，點
代入橢圓方程，二者聯(lián)立可以解出
；（2）以
的存在性分兩種情況：①不存在，直線
:
,易證符合題意；②存在時，設(shè)直線:
，用直線方程和橢圓方程聯(lián)立方程組，消參得一元二次方程，利用韋達定理得，
，又因為
共線，有
，由
得
，得出
，由于
成立，所以點
在直線
上，綜上:存在定直線
:
,使得與
的交點總在直線上,
的值是
.
試題解析：（1）由
，
2分
又點
在橢圓上，
，
4分
所以橢圓方程是：；
5分
（2）當(dāng)垂直
軸時，
，則的方程是：
，
的方程是：
，交點的坐標是：
，猜測:存在常數(shù),
即直線的方程是:使得與的交點總在直線上, 6分
證明：設(shè)的方程是，點
，
將的方程代入橢圓
的方程得到：
，
即：
，
7分
從而：，
8分
因為：
，
共線
所以：，
，
9分
又
，
要證明
共線，即要證明
， 10分
即證明：
，
即：
，
即：
因為：
成立， 12分
所以點在直線上。
綜上:存在定直線:,使得與的交點總在直線上,的值是. 13分
考點：1.橢圓的離心率；2.韋達定理；3.分類討論法解題.
天天向上一本好卷系列答案
小學(xué)生10分鐘應(yīng)用題系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009年廣東省廣州市高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題
的離心率為
，且經(jīng)過點
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年重慶市七區(qū)高三第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)理卷 題型：選擇題
已知橢圓C：
的離心率為
，過右焦點
且斜率為
的直線與橢圓C相交于
、
兩點．若
，則
=( )
A．
B．
C．2
D．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆廣東省高二第一學(xué)期期末考試文科數(shù)學(xué) 題型：解答題
（本小題滿分12分）
已知橢圓C:
,它的離心率為
.直線
與以原點為圓心,以C的短半軸為半徑的圓O相切. 求橢圓C的方程.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011年吉林一中高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)文卷 題型：解答題
．已知橢圓C：
的離心率為
，橢圓C上任意一點到橢圓兩個焦點的距離之和為6．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線
：
與橢圓C交于
，
兩點，點
，且
，求直線的方程．
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的離心率為
，雙曲線x²-y²＝1的漸近線與橢圓有四個交點，以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16，則橢圓c的方程為