Question

已知直線(xiàn)y=ax+1與雙曲線(xiàn)3x²-y²=1交于不同的兩點(diǎn)A、B.

(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a,使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)?若存在,求出a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

思路分析:(1)由于直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)A、B,利用判別式可確定a的取值范圍,為(2)中判定a值的存在性打下基礎(chǔ);

(2)點(diǎn)——線(xiàn)——點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題中,一定要注意應(yīng)用“垂直且平分”這個(gè)條件.

解:(1)由得

(3-a²)x²-2ax-2=0.                                                            (*)

由題意可得-＜a＜,且a≠±.

(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a,使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng),則設(shè)A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),

由題意可得

即

∴x₁+x₂=.

設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x₀,y₀),則x₀=.

又∵點(diǎn)M(x₀,y₀)在直線(xiàn)y=x上,

∴y₀=,即M(,).

又由(1)知x₁+x₂=,

當(dāng)x₁+x₂=時(shí),求得a=,與a=-2不符.

故不存在實(shí)數(shù)a使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng).