Question

P、Q是拋物線C：y=x²上兩動(dòng)點(diǎn)，直線l₁，l₂分別是C在點(diǎn)P、點(diǎn)Q處的切線，l₁∩l₂=M，l₁⊥l₂．
（1）求證：點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為定值，且直線PQ經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)；
（2）求△PQM面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（x₁，x₁²），Q（x₂，．x₂²），再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，從而得出切線的方程，結(jié)合l₁⊥l₂得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為定值，且直線PQ經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)；
（2）令x₁+x₂=k，由（1）知點(diǎn)M坐標(biāo)，直線PQ方程，利用點(diǎn)到直線距離S_△PQM的面積，最后利用基本不等式求出面積的最小值即可．

解答：解：（1）設(shè)P（x₁，x₁²），Q（x₂，．x₂²），
又y'=2x
則l₁方程為y-x₁²=2x₁（x-x₁）
即y=2x₁x-x₁²①l₂方程為y=2x₂x-x₂²②
由①②解得yM=x1x2，xM=

x1+x2

2

（3分）
由l₁⊥l₂得2x₁2x₂=-1
即x1x2=-

1

4

所以yM=-

1

4

，（5分）
PQ方程為y-x₁²=（x₁+x₂）（x-x₁）
即y=（x₁+x₂）x-x₁x₂
即y=(x1+x2)x+

1

4

由此得直線PQ一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，

1

4

)（8分）
（2）令x₁+x₂=k，
則由（1）知點(diǎn)M坐標(biāo)(

k

2

，-

1

4

)
直線PQ方程為y=kx+

1

4

，即kx-y+

1

4

=0（10分）
∴點(diǎn)M到直線PQ距離h=

| k2 2 + 1 4 + 1 4 |

1+k2

=

1

2

1+k2

|PQ|=

(x1-x2)2+( x 2 1 - x 2 2 )2

=

[(x1+x2)2-4x1x2][1+(x1+x2 ) 2   ]

=

(k2+1)(1+k2)

=1+k2．（12分）
∴S△PQM=

1

4

1+k2

•(1+k2)≥

1

4

，
當(dāng)k=0時(shí)“=”成立，
∴S_△PQM最小值為

1

4

．（15分）

點(diǎn)評(píng)：直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長(zhǎng)問(wèn)題、最值問(wèn)題、對(duì)稱問(wèn)題、軌跡問(wèn)題等   突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，要求考生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力、計(jì)算能力較高，起到了拉開(kāi)考生“檔次”，有利于選拔的功能．