Question

【題目】設橢圓C：的兩個焦點是和，且橢圓C與圓有公共點．

（1）求實數a的取值范圍；

（2）若橢圓C上的點到焦點的最短距離為，求橢圓C的方程；

（3）對（2）中的橢圓C，直線l：與C交于不同的兩點M、N，若線段MN的垂直平分線恒過點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

(1)根據橢圓C與圓有公共點,可轉換為聯立方程有解即可.

(2)設橢圓上的點,再求出到焦點的距離,分析取最短距離時的情況,再列式求解橢圓中基本量的關系即可.

(3)聯立直線與橢圓的方程,求出MN的垂直平分線,代入即可得的關系,再根據判別式與的關系列出不等式進行求解即可.

(1)由已知,,所以方程 有實數解,從而.

故,所以,故a的取值范圍是.

(2)設橢圓上的點到一個焦點的距離為,

則

因為 ,故,

因為.所以當時,

故 ,故橢圓方程為

(3)由

因為直線與橢圓交于不同兩點,所以,即.

設,則 ,故線段的中點.
又線段的垂直平分線橫過點,所以,即.

故.又,故,解得,

又,故

故實數m的取值范圍是.