Question

【題目】已知定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P為平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線SP，TP的斜率之積為.

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)B為軌跡E與y軸正半軸的交點(diǎn)，是否存在斜率為直線l，使得l交軌跡E于M，N兩點(diǎn)，且恰是的重心？若存在，求l的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在，詳見解析

【解析】

（1）設(shè)，由結(jié)合兩點(diǎn)間斜率計(jì)算公式，整理化簡即可；

（2）根據(jù)題意，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立直線和橢圓的方程構(gòu)成方程組，將韋達(dá)定理和相結(jié)合，求出的值，但不滿足，進(jìn)而可得出結(jié)果.

（1）設(shè)，由已知有，

整理得動(dòng)點(diǎn)Ｐ的軌跡Ｅ的方程為

（2）由（1）知，的方程為，所以

設(shè)存在直線適合題意，并設(shè)的方程為，.

由，得，

由，得，.

因?yàn)辄c(diǎn)為的重心，所以，

，解得

當(dāng)時(shí)，不滿足，

所以不存在直線，使得是的重心.