Question

已知集合A={（x，y）|y=-x²+mx-1}，B={（x，y）|x+y=3，0≤x≤3}，若A∩B中有且僅有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：A∩B中有且僅有一個(gè)元素?兩個(gè)方程聯(lián)立得到的二次方程有且僅有一個(gè)根；通過對判別式分類討論，結(jié)合二次方程相應(yīng)的函數(shù)列出滿足條件的不等式，求出m的范圍．

解答：解：由題意，

y=-x2+mx-1 x+y=3(0≤x≤3

得
x²-（m+1）x+4=0在[0，3]上有且僅有一解
①△=0時(shí)方程有相等實(shí)根且在[0，3]上，即

△=(m+1)2-4×4=0 0≤ m+1 2 ≤3

∴m=3
②△＞0時(shí)，只有一根在[0，3]上，兩根之積為4＞0，
則3²-（m+1）×3+4＜0，∴m＞

10

3

所以，m的取值范圍是m=3或m＞

10

3

．

點(diǎn)評：本題考查二次方程的實(shí)根的分布問題：常采用畫出相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象、從判別式、對稱軸、區(qū)間端點(diǎn)值的符號上加以限制．