Question

從某校高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)考試成績中，隨機(jī)抽取了60名學(xué)生的成績得到頻率分布直方圖如下：
（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖，估計該校高三學(xué)生本次數(shù)學(xué)考試的平均分；
（Ⅱ）以上述樣本的頻率作為概率，從該校高三學(xué)生中有放回地抽取3人，記抽到的學(xué)生成績不低于90分的人數(shù)為X；求X的分布列和期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意及頻率分布直方圖及平均數(shù)的定義即可求估計本次考試的平均分；
（Ⅱ）抽到的學(xué)生成績不低于90分的人數(shù)X的取值可能為0，1，2，3，然后求出每個學(xué)生成績低于90分的概率和不低于90分的概率，再分別求出X=0，1，2，3時的概率，列出分布列，最后利用數(shù)學(xué)期望的公式解之即可．

解答：解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖，得該校高三學(xué)生本次數(shù)學(xué)考試的平均分為平均分為：

.

x

=40×0.1+60×0.15+80×0.15+100×0.3+120×0.25+140×0.05=92．
（Ⅱ）抽到的學(xué)生成績不低于90分的人數(shù)X的取值可能為0，1，2，3
因為以上述樣本的頻率作為概率
所以每個學(xué)生成績低于90分的概率為（0.005+0.0075+0.0075）×20=

2

5

，不低于90分的概率為

3

5

P（X=0）=(

2

5

)3=

8

125

，P（X=1）=

C

1 3

(

3

5

)1(

2

5

)2=

36

125

，P（X=2）=

C

2 3

(

3

5

)2(

2

5

)1=

54

125

，P（X=3）=(

3

5

)3=

27

125

分布列如下

X	0	1	2	3
P	8 125	36 125	54 125	27 125

∴E（X）=0×

8

125

+1×

36

125

+2×

54

125

+3×

27

125

=

9

5

∴X的期望為

9

5

點評：本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，概率的求法，離散型隨機(jī)變量的期望與方差，考查分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．