Question

如圖,直線y=x與拋物線y=x²-4交于A、B兩點,線段AB的垂直平分線與直線y=-5交于Q.

(1)求點Q的坐標(biāo);

(2)當(dāng)P為拋物線上位于線段AB下方(含A、B)的動點時,求△OPQ面積的最大值.

Answer 1

解:(1)由方程組得A(-4,-2),B(8,4),則AB的中點M(2,1).

于是AB的垂直平分線為y-1=-2(x-2).

令y=-5,得x=5,∴Q(5,-5).

(2)直線OQ的方程為x+y=0,設(shè)P(x,x²-4),

∴點P到直線OQ的距離為

∵|OQ|=5,

∴S_△OPQ=|OQ|·d=|x²+8x-32|.

∵P為拋物線上位于線段AB下方的點,

∴-4≤x≤4-4或4-4＜x≤8.

∵函數(shù)y=x²+8x-32在區(qū)間［-4,8］上單調(diào)遞增,

∴當(dāng)x=8時,△OPQ的面積取得最大值30.