Question

如圖在直角梯形ABCD中，AD=3，AB=4，BC=

3

，曲線DE上任一點(diǎn)到A、B兩點(diǎn)距離之和為常數(shù)．
（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線DE的方程；
（2）過(guò)C點(diǎn)作一條與曲線DE相交且以C為中點(diǎn)的弦，求出弦所在直線的方程．

Answer 1

（1）以直線AB為x軸，線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，
則A（-2，0），B（2，0），C（2，

3

），D（-2，3）．
依題意，曲線段DE是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓的一部分．
∵a=

1

2

(|AD|+|BD|)=4，c=2，b2=12，
∴所求方程為

x2

16

+

y2

12

=1(-2≤x≤4，0≤y≤2

3

)．
（2）設(shè)直線方程y-

3

=k（x-2），即y=k（x-2）+

3

，將其代入

x2

16

+

y2

12

=1
得(3+4k2)x2+(8

3

k-16k2)x+16k2-16

3

k-36=0
設(shè)弦的端點(diǎn)為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則由

x1+x2

2

=2，知x₁+x₂=4，
∴-

8 3 k-16k2

3+4k2

=4，解得k=-

3

2

．
∴弦MN所在直線方程為y=-

3

2

x+2

3

，驗(yàn)證得知，這時(shí)M(0，2

3

)，N(4，0)適合條件．
故這樣的直線存在，其方程為y=-

3

2

x+2

3

．