Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，直線AB的傾斜角為

3π

4

，|

OB

|=2，設(shè)∠AOB=θ，θ∈(

π

2

，

3π

4

)．
（1）用θ有示點(diǎn)B的坐標(biāo)及|

OA

|；
（2）求

OA

•

OB

的范圍．

Answer 1

分析：（1）由三角函數(shù)的定義，得點(diǎn)B的坐標(biāo)；在△AOB中利用正弦定理求出|OA|長．
（2）利用向量的數(shù)量積公式等于向量的模乘以它們的夾角余弦乘積及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式求出．

解答：（1）解：由三角函數(shù)的定義，得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2cosθ，2sinθ）．
在△AOB中，|OB|=2，∠BAO=

π

4

， ∠B=π-

π

4

-θ=

3π

4

-θ，
由正弦定理，得

|OB|

sin π 4

=

|OA|

sin∠B

，
即

2

2 2

=

|OA|

sin( 3π 4 -θ)

，
所以 |OA|=2

2

sin(

3π

4

-θ)．

（2）解：由（1）得

OA

•

OB

=|

OA

|•|

OB

|•cosθ=4

2

sin(

3π

4

-θ)•cosθ
=4cos²θ+4sinθcosθ=2cos2θ+2sin2θ+2
=2

2

sin（2θ+

π

4

)+2
∵θ∈(

π

2

，

3π

4

)，
∴2θ+

π

4

∈(

5π

4

，

7π

4

)．
則

OA

•

OB

∈[2-2

2

，0)．

點(diǎn)評：此題是個(gè)基礎(chǔ)題．本題考查三角函數(shù)的定義；考查三角函數(shù)的正弦定理；考查向量的數(shù)量積；考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，以及三角函數(shù)在定區(qū)間上的最值．考查學(xué)生分析解決問題的能力．