Question

【題目】在直角坐標系中，已知拋物線上一點到焦點的距離為6，點為其準線上的任意一點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為.

（1）求拋物線的方程；

（2）當點在軸上時，證明:為等腰直角三角形.

（3）證明：為直角三角形.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）見解析

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的定義可知，到焦點的距離等于到準線的距離，得到求出參數(shù)即可求出拋物線的解析式；

（2）由（1）可得，由題意知切線的斜率存在且不為0，設為，所以切線方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，消去得到關于的一元二次方程，根據(jù)求出的值，即可求出、的坐標，即可得證；

（3）設點，由題意知切線的斜率存在且不為0，設為，所以切線方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，消去得到關于的一元二次方程，根據(jù)求出的值，即可得證；

解：（1）根據(jù)題意可得，得，

所以拋物線的方程為.

（2）拋物線：的準線方程為，

所以點，由題意知切線的斜率存在且不為0，設為，

所以切線方程為.

由方程組，得，

所以，

解得，解得.

不妨取，，易得為等腰直角三角形.

（3）設點，由題意知切線的斜率存在且不為0，設為，

所以切線方程為，

由方程組，

得，

此時

，

所以，即.

所以為直角三角形.