Question

（2013•成都二模）若不等式m≤

1

2x

+

2

1-x

當(dāng)x∈（0，l）時(shí)恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為（　�。�

• A．9
• B．

  9

  2

• C．5
• D．

  5

  2

Answer 1

分析：設(shè)f（x）=

1

2x

+

2

1-x

，根據(jù)形式將其化為f（x）=

5

2

+

1 2 (1-x)

x

+

2x

1-x

．利用基本不等式求最值，可得當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

3

時(shí)

1 2 (1-x)

x

+

2x

1-x

的最小值為2，得到f（x）的最小值為f（

1

3

）=

9

2

，再由題中不等式恒成立可知m≤（

1

2x

+

2

1-x

）_min
由此可得實(shí)數(shù)m的最大值．

解答：解：設(shè)f（x）=

1

2x

+

2

1-x

=

1 2

x

+

2

1-x

（0＜x＜1）
而

1 2

x

+

2

1-x

=[x+（1-x）]（

1 2

x

+

2

1-x

）=

5

2

+

1 2 (1-x)

x

+

2x

1-x

∵x∈（0，l），得x＞0且1-x＞0
∴

1 2 (1-x)

x

+

2x

1-x

≥2

1 2 (1-x) x × 2x 1-x

=2，
當(dāng)且僅當(dāng)

1 2 (1-x)

x

=

2x

1-x

=1，即x=

1

3

時(shí)

1 2 (1-x)

x

+

2x

1-x

的最小值為2
∴f（x）=

1

2x

+

2

1-x

的最小值為f（

1

3

）=

9

2

而不等式m≤

1

2x

+

2

1-x

當(dāng)x∈（0，l）時(shí)恒成立，即m≤（

1

2x

+

2

1-x

）_min
因此，可得實(shí)數(shù)m的最大值為

9

2

故選：B

點(diǎn)評：本題給出關(guān)于x的不等式恒成立，求參數(shù)m的取值范圍．著重考查了利用基本不等式求函數(shù)的最值和不等式恒成立問題的處理等知識(shí)，屬于中檔題．