Question

設(shè)函數(shù)y=f（x），x∈R．
（1）若函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)并且圖象關(guān)于直線x=a（a≠0）對(duì)稱，求證：函數(shù)y=f（x）為周期函數(shù)．
（2）若函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)并且圖象關(guān)于直線x=a（a≠0）對(duì)稱，求證：函數(shù)y=f（x）是以4a為周期的函數(shù)．
（3）請(qǐng)對(duì)（2）中求證的命題進(jìn)行推廣，寫出一個(gè)真命題，并予以證明．

Answer 1

分析：（1）由圖象關(guān)于x=a對(duì)稱得f（2a-x）=f（x），再由f（-x）=f（x）可證f（2a+x）=f（x）．
（2）由f（-x）=-f（x）和f（2a-x）=f（x），可推出f（4a+x）=f（x），
（3）把（2）中的對(duì)稱點(diǎn)由原點(diǎn)推廣到任意點(diǎn)，圖象關(guān)于點(diǎn)（m，n）對(duì)稱時(shí)有 2n-f（x）=f（2m-x），
再根據(jù)f（2a-x）=f（x），換元可得  2n-f（x）=f（2m-2a+x），分a=m和a≠m兩種情況討論．

解答：解：（1）由圖象關(guān)于x=a對(duì)稱得f（2a-x）=f（x），即f（2a+x）=f（-x），
因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，所以f（-x）=f（x），從而f（2a+x）=f（x），所以f（x）是以2a為周期的函數(shù)．
（2）若f（x）為奇函數(shù)，則圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f（-x）=-f（x），
由圖象關(guān)于直線x=a（a≠0）對(duì)稱得，f（2a-x）=f（x），∴f（2a+x）=f（-x）=-f（x），
所以f（4a+x）=f（x），f（x）是以4a為周期的函數(shù)．
（3）推廣：若函數(shù)y=f（x）圖象關(guān)于點(diǎn)（m，n）對(duì)稱且關(guān)于直線x=a（a≠0）對(duì)稱，
則函數(shù)f（x）是以4（m-a）為周期的周期函數(shù)．
由條件圖象關(guān)于點(diǎn)（m，n）對(duì)稱，故2n-f（x）=f（2m-x），又圖象關(guān)于直線x=a（a≠0）對(duì)稱，f（2a-x）=f（x），
所以，2n-f（2a-x）=f（2m-x），即2n-f（x）=f（2m-2a+x）．
當(dāng)a=m時(shí)，f（x）=n為常值函數(shù)，是周期函數(shù)．
當(dāng)a≠m時(shí)，由 2n-f（x）=f（2m-2a+x） 得：
2n-f（2m-2a+x）=f（4m-4a+x），∴2n-（2n-f（x））=f（4m-4a+x），
因此，f[4（m-a）+x]=f（x），所以，f（x）是以4（m-a）為周期的函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的周期性、求函數(shù)的周期，函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及合情推理，體現(xiàn)換元的數(shù)學(xué)思想．