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        1. (2005•東城區(qū)一模)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC為等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1=a,D、E、F分別為B1A、C1C、BC的中點.
          (Ⅰ)求證:DE∥平面ABC;
          (Ⅱ)求二面角B1-AF-B的大小(用反三角函數(shù)表示);
          (Ⅲ)求三棱錐F-B1AE的體積.
          分析:(I)連接A1B、A1E,并延長A1E交AC的延長線于點P,連接BP.通過證得DE∥BP來證明DE∥平面ABC;
          (Ⅱ)∠B1FB應(yīng)為二面角B1-AF-B的平面角.在Rt△B1BF中求解.
          (Ⅲ)利用體積轉(zhuǎn)化法求得VF-B1AE=VB1-AFE=
          1
          3
          S△AEF×B1F=
          1
          3
          ×
          1
          2
          ×AF×EF×B1F=
          1
          8
          a3
          解答:解:(I)連接A1B、A1E,并延長A1E交AC的延長線于點P,連接BP.

          由E為C1C的中點,A1C1∥CP可證A1E=EP
          ∵D、E是A1B、A1P的中點,∴DE∥BP
          又∵BP?平面ABC,DE?平面ABC,
          ∴DE∥平面ABC  (5分)
          (II)∵△ABC為等腰直角三角形,∠BAC=90°

          F為BC的中點,∴BC⊥AF
          又∵B1B⊥平面ABC,由三垂線定理可證B1F⊥AF.
          ∴∠B1FB為二面角B1-AF-B的平面角.
          在Rt△B1BF中,∠B1BF=90°,由B1B=a,BF=
          2
          2
          a,
          可求tan∠B1FB=
          B1B
          BF
          =
          2

          B1FB=arctan
          2

          ∴二面角B1-AF-B的大小為arctan
          2
          (10分)
          (III)又∵B1F2=
          3
          2
          a2,EF2=
          3
          4
          a2,B1E2=
          9
          4
          a2

          B1F2+EF2=B1E2
          ∴B1F=FE,∵B1F⊥AF,F(xiàn)E∩AF=F
          ∴B1F⊥平面AEF.
          ∵C1C⊥平面ABC,AF⊥FC,由三垂線定理可證EF⊥AF
          VF-B1AE=VB1-AFE=
          1
          3
          S△AEF×B1F=
          1
          3
          ×
          1
          2
          ×AF×EF×B1F=
          1
          8
          a3
          點評:本題考查空間直線、平面位置關(guān)系的判斷,二面角大小求解,體積的計算考查空間想象能力、推理論證、計算、轉(zhuǎn)化能力.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2005•東城區(qū)一模)已知m、n為兩條不同的直線α、β為兩個不同的平面,給出下列四個命題
          ①若m?α,n∥α,則m∥n;
          ②若m⊥α,n∥α,則m⊥n;
          ③若m⊥α,m⊥β,則α∥β;
          ④若m∥α,n∥α,則m∥n.
          其中真命題的序號是( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2005•東城區(qū)一模)已知O為坐標(biāo)原點,點E、F的坐標(biāo)分別為(-1,0)和(1,0).動點P滿足|
          PE
          |+|
          PF
          |=4.
          (Ⅰ)求動點P的軌跡C的方程;
          (Ⅱ)過E點做直線與C相交于M、N兩點,且
          ME
          =2
          EN
          ,求直線MN的方程.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2005•東城區(qū)一模)復(fù)數(shù)(1+i)3的虛部是( 。

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          (2005•東城區(qū)一模)預(yù)測人口的變化趨勢有多種方法,最常用的是“直接推算法”,使用的公式是Pn=P0(1+k)n(k為常數(shù),k>-1),其中Pn為預(yù)測期內(nèi)n年后人口數(shù),P0為初期人口數(shù),k為預(yù)測期內(nèi)年增長率,如果-1<k<0,那么在這期間人口數(shù)( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2005•東城區(qū)一模)已知θ為第二象限角,sin(π-θ)=
          24
          25
          ,cos
          θ
          2
          的值為( 。

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          同步練習(xí)冊答案