Question

某公司為了實(shí)現(xiàn)1 000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案：在銷售利潤達(dá)到10萬元時(shí)，按銷售利潤進(jìn)行獎勵，且獎金y(萬元)隨銷售 利潤x(萬元)的增加而增加，但獎勵總數(shù)不超過5萬元，同時(shí)獎金不超過利潤的25%，現(xiàn)有三個獎勵模型：y=0.25x,y=log₇x+1,y=1.002^x，其中哪個模型能符合公司要求？

Answer 1

思路分析：本題主要考查指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長差異，以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力.某個獎勵模型符合公司要求，即當(dāng)x∈［10,1 000］時(shí)，能夠滿足y≤5，且≤25%，可以先從函數(shù)圖像得到初步的結(jié)論，再通過具體計(jì)算，確認(rèn)結(jié)果.

解：借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出函數(shù)y=5,y=0.25x,y=log₇x+1,y=1.002^x的圖像如下圖所示：

    觀察圖像發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間［10,1 000］上模型y=0.25x,y=1.002^x的圖像都有一部分在y=5的上方，這說明只有按模型y=log₇x+1進(jìn)行獎勵才能符合公司要求，下面通過計(jì)算確認(rèn)上述判斷.

    首先計(jì)算哪個模型的獎金總數(shù)不超過5萬.

    對于模型y=0.25x，它在區(qū)間［10,1 000］上是單調(diào)遞增的，當(dāng)x∈(20,1 000)時(shí)，y＞5，因此該模型不符合要求.

    對于模型y=1.002^x，利用計(jì)算器，可知1.002⁸⁰⁶≈5.005，由于y=1.002^x是增函數(shù)，故當(dāng)x∈(806,1 000］時(shí)，y＞5，因此，也不符合題意.

    對于模型y=log₇x+1，它在區(qū)間［10,1 000］上單調(diào)遞增且當(dāng)x=1 000時(shí)，y=log₇1 000+1≈4.55＜5，所以它符合獎金總數(shù)不超過5萬元的要求.

    再計(jì)算按模型y=log₇x+1獎勵時(shí)，獎金是否超過利潤x的25%，即當(dāng)x∈［10,1 000］時(shí)，利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作f(x)=log₇x+1-0.25x的圖像，由圖像可知f(x)是減函數(shù)，因此f(x)＜f(10)≈-0.316 7＜0，即log₇x+1＜0.25x.

    所以當(dāng)x∈［10,1 000］時(shí)，y＜0.25x.這說明，按模型y=log₇x+1獎勵不超過利潤的25%.

    綜上所述，模型y=log₇x+1確實(shí)符合公司要求.