Question

已知函數(shù)f(x)=

2n+1

2

x+

2n-1

2x

在(0，+∞)上的最小值是a_n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）證明

1

a 2 1

+

1

a 2 2

+…+

1

a 2 n

＜

1

2

；
（3）在點列A_n（2n，a_n）中，是否存在兩點A_i，A_j（i，j∈N^*）使直線A_iA_j的斜率為1？若存在，求出所有數(shù)對（i，j），若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由f(x)≥

1

2

•2

(2n+1)x• 2n-1 x

=

4n2-1

，知當(dāng)且僅當(dāng)(2n+1)x=

2n-1

x

時，f（x）取得最小值，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由

1

a 2 n

=

1

4n2-1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，能夠證明

1

a 2 1

+

1

a 2 2

+…+

1

a 2 n

＜

1

2

．
（3）設(shè)A_i（2i，a_i），A（2j，a_j），則kAiAj=

ai-aj

2(i-j)

=

4i2-1 - 4j2-1

2(i-j)

=

4(i2-j2)

2(i-j)( 4i2-1 + 4j2-1 )

=

2(i+j)

4i2-1 + 4j2-1

＞

2(i+j)

4i2 + 4j2

=1．故不存在存在兩點A_i，A_j（i，j∈N^*）使直線A_iA_j的斜率為1．

解答：解：（1）∵f(x)≥

1

2

•2

(2n+1)x• 2n-1 x

=

4n2-1

…（2分）
當(dāng)且僅當(dāng)(2n+1)x=

2n-1

x

即x=

2n-1 2n+1

時，
f（x）取得最小值

4n2-1

，
∴an=

4n2-1

．…（4分）
（2）證明∵

1

a 2 n

=

1

4n2-1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，…（6分）
∴

1

a 2 1

+

1

a 2 2

+…+

1

a 2 n

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

．…（9分）
（3）不存在．
設(shè)A_i（2i，a_i），A（2j，a_j），（其中i，j∈N^*），
則kAiAj=

ai-aj

2(i-j)

=

4i2-1 - 4j2-1

2(i-j)

…（10分）
=

4(i2-j2)

2(i-j)( 4i2-1 + 4j2-1 )

…（12分）
=

2(i+j)

4i2-1 + 4j2-1

＞

2(i+j)

4i2 + 4j2

=1．
故不存在存在兩點A_i，A_j（i，j∈N^*）使直線A_iA_j的斜率為1．…（14分）

點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．