Question

給定有限個正數滿足條件T:每個數都不大于50且總和L=1 275.現將這些數按下列要求進行分組,每組數之和不大于150且分組的步驟是:?

首先,從這些數中選擇這樣一些數構成第一組,使得150與這組數之和的差r₁與所有可能的其他選擇相比是最小的,r₁稱為第一組余差；?

然后,在去掉已選入第一組的數后,對余下的數按第一組的選擇方式構成第二組,這時的余差為r₂；如此繼續(xù)構成第三組(余差為r₃)、第四組(余差為r₄)、…,直至第N組(余差為r_n)把這些數全部分完為止.?

(1)判斷r₁,r₂,…,r_n的大小關系,并指出除第N組外的每組至少含有幾個數；?

(2)當構成第n(n＜N)組后,指出余下的每個數與r_n的大小關系,并證明

(3)對任何滿足條件T的有限個正數,證明N≤11.

Answer 1

解析:(1)r₁≤r₂≤…≤r_n，除第N組外的每組至少含有=3個數.?

(2)當第n組形成后，因為n＜N,所以還有數沒有分完，這時余下的每個數必大于余差r_n,余下數之和也大于第n組的余差r_n,?

即L-［(150-r₁)+(150-r₂)+…+(150-r_n)］＞r_n,?

由此可得r₁+r₂+…+r_n-1＞150n-L.?

因為(n-1)r_n-1≥r₁+r₂+…+r_n-1,?

(3)用反證法證明結論.假設N＞11,即第11組形成后，還有數沒有分完，由(1)和(2)可知余下的每個數都大于第11組的余差r₁1,且r₁1≥r₁0,?

故余下的每個數

因為第11組數中至少含有3個數,?

所以第11組數之和大于37.5×3=112.5.?

此時,第11組的余差r₁1=150-

第11組數之和＜150-112.5=37.5,?

這與(*)式中r₁1＞37.5矛盾,?

所以N≤11.