Question

設x，y∈R，在直角坐標平面內，a=(x，y+2)，b=(x，y-2)，且|a|+|b|=8．

(Ⅰ)求點M(x，y)的軌跡C的方程；

(Ⅱ)過點(0，3)作直線l與曲線C交于A、B兩點，若以AB為直徑的圓過坐標原點，求直線l的方程．

Answer 1

解：(1)由題意得：=8，即點M(x，y)到兩定點F₁(0，-2)，F₂(0，2)的距離之和為定值，且|F₁F₂|＜8，所以點M(x，y)的軌跡是以F₁、F₂為焦點的橢圓，化簡可得橢圓方程為：=1

(Ⅱ)過點(0，3)作直線l，當l與x軸垂直時，AB過坐標原點，這與以AB為直徑的圓過坐標原點矛盾.∴直線l的斜率存在．設l的方程為y=kx+3，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

由消去y得(4+3k²)x²+18kx-21=0．

△=(18k)²-4(4+3k²)(-21)＞0恒成立．

且x₁+x₂=，x₁x₂=，由條件AB為直徑，

則OA⊥OB，即=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0，

y₁y₂=(kx₁+3)(kx₂+3)=k²x₁x₂+3k(x₁+x₂)+9，

即(1+k²)x₁x₂+3k(x₁+x₂)+9=0，

∴(1+k²)()+3k()+9=0，

解得：k=±    ∴直線l的方程為：y=±x+3