Question

（本小題滿分14分）
已知函數(shù)，，且
（Ⅰ）求函數(shù)的定義域，并證明在定義域上是奇函數(shù)；
（Ⅱ）對于恒成立，求的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)，且時(shí)，試比較與的大小．

Answer 1

（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823151413494579.gif" style="vertical-align:middle;" />  ，證明略
（Ⅱ）①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，  

解：（Ⅰ）由，解得或，
∴ 函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823151413494579.gif" style="vertical-align:middle;" />                        …………………2分
當(dāng)時(shí)，

∴ 在定義域上是奇函數(shù)。                       …………….4分
（Ⅱ）由時(shí)，恒成立，
①當(dāng)時(shí)
∴對恒成立
∴ 在恒成立          ………………………6分
設(shè)
則

∴當(dāng)時(shí)，
∴ 在區(qū)間上是增函數(shù)，
∴                                           …………………………8分
②當(dāng)時(shí)
由時(shí)，恒成立，
∴對恒成立
∴ 在恒成立              ………………………9分
設(shè)
由①可知在區(qū)間上是增函數(shù)，
∴                                             …………………………10分
（Ⅲ）∵

∴
當(dāng)時(shí)，，=2，∴
當(dāng)時(shí)，，=6，∴
當(dāng)時(shí)，           …………………………12分
下面證明：當(dāng)時(shí)，
證法一：當(dāng)時(shí)，


∴當(dāng)時(shí)，       …………………………14分
證法二：當(dāng)時(shí)，要證明
只需要證明
（1）當(dāng)時(shí)，，，成立
（2）假設(shè)，不等式成立，即
那么
∴
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231514159751222.gif" style="vertical-align:middle;" />
∴
∴時(shí)，不等式成立
綜合（1）和（2），對，且不等式成立
∴當(dāng)時(shí)，   …………………………14分
證法三：∵時(shí)，
構(gòu)造函數(shù)


∴當(dāng)時(shí)，
∴在區(qū)間是減函數(shù)，
∴當(dāng)時(shí)，
∴在區(qū)間是減函數(shù)，
時(shí)，
時(shí)，，即
∴當(dāng)時(shí)，    …………………………14分