Question

如圖，已知圓O內接四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=3，DA=4
求（1）四邊形ABCD的面積；
（2）圓O的半徑R．

Answer 1

分析：（1）連接AC，在△ABC、△ACD中分別用由余弦定理求AC²，兩式右邊相等消去AC²，式子兩角是互補的，得出角的正弦值，利用三角形面積公式可求出兩個三角形的面積，加起來是要求的四邊形的面積．
（2）由（1）可求出sin∠ADC和AC，利用正弦定理得直徑，除以2得半徑．

解答：解：（1）連接AC，在△ABC中由余弦定理，得
AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos∠ABC=1²+2²-2×1×2cos∠ABC=5-4cos∠ABC（3分）
在△ACD中由余弦定理，得AC²=AD²+DC²-2AD•DCcos∠ADC=4²+3²-2×4×3cos∠ADC=25-24cos∠ADC（6分）
從而得5-4cos∠ABC=25-24cos∠ADC，
又∠ADC=π-∠ABC，故cos∠ADC=

5

7

，（9分）
sin∠ADC=

2 6

7

所以AC2=25-24×

5

7

=

55

7

．（10分）
所以S四邊形ABCD=

1

2

(1×2+3×4)sin∠ADC=

14

2

×

2 6

7

=2

6

（12分）
（2）由2R=

AC

sin∠ADC

=

55 7

×

7

2 6

，解得R=

2310

24

（16分）

點評：本題兩次用到余弦定理，銜接點有兩處，一是有一條公共邊，二是式子中兩個角互補，圓內接四邊形的對角補，要從圖中讀出，這點很重要；
正弦定理記憶的時候要全面，它的比值是三角形外接圓的直徑，知道這一點，問題迎刃而解．