Question

將正整數(shù)1，2，3，4，…，n²（n≥2）任意排成n行n列的數(shù)表．對(duì)于某一個(gè)數(shù)表，計(jì)算各行和各列中的任意兩個(gè)數(shù)a，b（a＞b）的比值，稱這些比值中的最小值為這個(gè)數(shù)表的“特征值”．
（1）當(dāng)n=2時(shí)，試寫(xiě)出排成的各個(gè)數(shù)表中所有可能的不同“特征值”；
（2）若a_ij表示某個(gè)n行n列數(shù)表中第i行第j列的數(shù)（1≤i≤n，1≤j≤n），且滿足請(qǐng)分別寫(xiě)出n=3，4，5時(shí)數(shù)表的“特征值”，并由此歸納此類(lèi)數(shù)表的“特征值”（不必證明）；
（3）對(duì)于由正整數(shù)1，2，3，4，…，n²排成的n行n列的任意數(shù)表，若某行（或列）中，存在兩個(gè)數(shù)屬于集合{n²-n+1，n²-n+2，…，n²}，記其“特征值”為λ，求證：．

Answer 1

證明：（1）顯然，交換任何兩行或兩列，特征值不變．
可設(shè)1在第一行第一列，考慮與1同行或同列的兩個(gè)數(shù)只有三種可能，2，3或2，4或3，4．
得到數(shù)表的不同是或 …（3分）

7	1	4
5	8	2
3	6	9

（2）當(dāng)n=3時(shí)，數(shù)表為此時(shí)，數(shù)表的“特征值”為 …（4分）

13	1	5	9
10	14	2	6
7	11	15	3
4	8	12	16

當(dāng)n=4時(shí)，數(shù)表為此時(shí)，數(shù)表的“特征值”為．…（5分）

21	1	6	11	16
17	22	2	7	12
13	18	23	3	8
9	14	19	24	4
5	10	15	20	25

當(dāng)n=5時(shí)，數(shù)表為此時(shí)，數(shù)表的“特征值”為．…（6分）
猜想“特征值”為．…（7分）
（3）設(shè)a，b（a＞b）為該行（或列）中最大的兩個(gè)數(shù)，則λ≤≤，
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/39400.png' />-==＜0
所以＜，從而λ＜…（13分）
分析：（1）可設(shè)1在第一行第一列，考慮與1同行或同列的兩個(gè)數(shù)的可能，可得特征值；
（2）分別寫(xiě)出當(dāng)n=3，n=4，n=5時(shí)的圖表，由特征值的定義可得答案．
（3）設(shè)a，b（a＞b）為該行（或列）中最大的兩個(gè)數(shù)，易得λ≤≤，作差可證＜，進(jìn)而可得答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查類(lèi)比推理和歸納推理，屬基礎(chǔ)題．