Question

已知函數(shù)y=f（x），若存在x₀，使得f（x₀）=x₀，則稱(chēng)x₀是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+（b+1）x+b-2
（Ⅰ）當(dāng)a=2，b=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的不動(dòng)點(diǎn)；
（Ⅱ）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若函數(shù)y=f（x）的圖象上A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)f（x）的不動(dòng)點(diǎn)，且直線y=kx+是線段AB的垂直平分線，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ） 當(dāng)a=2，b=1時(shí)，f（x）=2x²+2x-1，解2x²+2x-1=x，
解得，
所以函數(shù)f（x）的不動(dòng)點(diǎn)為；
（Ⅱ）因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)，
所以對(duì)于任意實(shí)數(shù)b，方程f（x）=x恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
即方程ax²+（b+1）x+b-2=x恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
所以 ，即對(duì)于任意實(shí)數(shù)b，b²-4ab+8a＞0，
所以 ，
解得0＜a＜2；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)f（x）的兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)為x₁，x₂，則A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），
且x₁，x₂是ax²+bx+b-2=0的兩個(gè)不等實(shí)根，所以，
直線AB的斜率為1，線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為，
因?yàn)橹本�是線段AB的垂直平分線，
所以k=-1，且（-，-）在直線y=kx+上，
則-=+，a∈（0，2），
所以b=-=-，
當(dāng)且僅當(dāng)a=1∈（0，2）時(shí)等號(hào)成立，
又b＜0，
所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是[-，0）．
分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=2，b=1代入方程f（x）=x，解出x即可；
（Ⅱ）方程f（x）=x恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即方程ax²+（b+1）x+b-2=x恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則 對(duì)任意b恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得a的不等式；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)f（x）的兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)為x₁，x₂，則A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），且x₁，x₂是ax²+bx+b-2=0的兩個(gè)不等實(shí)根，則，由題意可得k=-1，且AB中點(diǎn)（-，-）在直線y=kx+上，代入可得a，b的關(guān)系式，分離出b后根據(jù)a的范圍可得b的范圍；
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題、直線的垂直關(guān)系直線方程，考查轉(zhuǎn)化思想，本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解不動(dòng)點(diǎn)的定義．