Question

如圖，已知直線與拋物線相切于點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（1）若動點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡；

（2）若過點(diǎn)的直線（斜率不等于零）與（1）中的軌跡交于不同的兩點(diǎn)（在之間），試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（I）點(diǎn)M的軌跡為以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長為，短軸長為2的橢圓

（II）（3－2， 1）

【解析】

試題分析：（I）由，∴直線l的斜率為，

故l的方程為，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，0）

設(shè)   則，

由得

整理，得   

∴點(diǎn)M的軌跡為以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長為，短軸長為2的橢圓

（II）如圖，由題意知直線l的斜率存在且不為零，設(shè)l方程為y=k(x－2)(k≠0)①

將①代入，整理，得

，

由△>0得0<k²<.  設(shè)E(x₁，y₁)，F(xiàn)(x₂，y₂)

則 ②   令，由此可得

由②知

    

∴△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是（3－2， 1）

考點(diǎn)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，簡單不等式解法。

點(diǎn)評：中檔題，曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時，主要運(yùn)用“直接法”，將向量關(guān)系用坐標(biāo)表示，達(dá)到解題目的。（2）作為研究直線與橢圓位置關(guān)系下，三角形面積之比的范圍問題，應(yīng)用韋達(dá)定理及向量，建立了的不等式，進(jìn)一步使問題得解。