Question

已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f（x）=x²+4ax+1，g（x）=6a²lnx+2b+1，其中a＞0．
（Ⅰ）設兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點，且在該點處的切線相同，用a表示b，并求b的最大值；
（Ⅱ）設h（x）=f（x）+g（x），證明：若a≥

3

-1，則對任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂有

h(x2)-h(x1)

x2-x1

＞8．

Answer 1

分析：（I）先求在公共點處的切線方程，只須分別求出其斜率的值，利用導數(shù)求出在切點處的導函數(shù)值，再結合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．利用兩個斜率相等得到等式，從而用a表示b．最后再利用導數(shù)的方法求b的最大值即可，研究函數(shù)的最值問題，先求出函數(shù)的極值，比較極值和端點處的函數(shù)值的大小，最后確定出最大值．
（II）不妨設x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，

h(x2)-h(x1)

x2-x1

＞8變形得h（x₂）-8x₂＞h（x₁）-8x₁令T（x）=h（x）-8x，接下來利用導數(shù)研究它的單調(diào)性即可證x₁＞x₂命題成立．

解答：解：（Ⅰ）設f（x）與g（x）交于點P（x₀，y₀），則有f（x₀）=g（x₀），
即x₀²+4ax₀+1=6a²lnx₀+2b+1（1）
又由題意知f'（x₀）=g'（x₀），即2x0+4a=

6a2

x0

（2）（2分）
由（2）解得x₀=a或x₀=-3a（舍去）
將x₀=a代入（1）整理得b=

5

2

a2-3a2lna（4分）
令h(a)=

5

2

a2-3a2lna，則h'（a）=2a（1-3lna）a∈(0，

3	e

)時，
h（a）遞增，a∈(

3	e

，+∞)時h（a）遞減，所以h（a）≤h(

3	e

)=

3

2

e

2

3

即b≤

3

2

e

2

3

，b的最大值為

3

2

e

2

3

（6分）

（Ⅱ）不妨設x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，

h(x2)-h(x1)

x2-x1

＞8，
變形得h（x₂）-8x₂＞h（x₁）-8x₁
令T（x）=h（x）-8x，T′(x)=2x+

6a2

x

+4a-8，
∵a≥

3

-1，
∴T′(x)=2x+

6a2

x

+4a-8≥4

3

a+4a-8≥4(

3

+1)(

3

-1)-8≥0，
T（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)增，T（x₂）＞T（x₁），同理可證x₁＞x₂命題成立（12分）

點評：本小題主要考查直線的斜率、導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、不等式的證明等基礎知識，考查運算求解能力．屬于基礎題．