Question

定義函數(shù)f_n(x)=(1+x)ⁿ-1,x＞-2,n∈N^*.

(1)求證：f_n(x)≥nx.

(2)是否存在區(qū)間［a,0］(a＜0),使函數(shù)n(x)=f_3(x)-f_2(x)在區(qū)間［a,0］上的值域為［ka,0］?若存在，求出最小的k值及相應的區(qū)間［a,0］;若不存在，說明理由.

Answer 1

解：（1）證明：f_n(x)-nx=(1+x)ⁿ-1-nx,

    令g_(x)=(1+x)ⁿ-1-nx,則g′_(x)=n［(1+x)^n-1-1］,

    當x∈(-2,0)時，g′_(x)＜0;

    當x∈(0,+∞)時,g′_x＞0.

∴g_(x)在x=0處取得極小值g₍₀₎=0,同時g_(x)是學峰函數(shù)，則g₍₀₎也是最小值，∴g_(x)≥0.

    即f_n(x)≥nx(當且僅當x=0取等號).

（2）h_(x)=f_3(x)=f_2(x)=x(1+x)²,

h′_(x)=(1+x)²+x·2(1+x)=(1+x)(1+3x),

    令h′_(x)=0,得x=-1,x=-∴當x∈(-2,-1)時，h′_(x)＞0；當x∈(-1,-)時，h′_(x)＜0;

    當x∈(-,+∞)時，h′_(x)＞0,故h_(x)的草圖如圖所示：

①在-≤a＜0時，h_(x)最小值h_(a)=ka.∴k=(1+a)²≥,

②在-≤a≤-時,h_(x)最小值=h(-)=-=ka,k=-,≤k≤;

③在a≤-時,h_(x)最小值=h_(a)=a(1+a)²=ka,k=(1+a)²≥,a=-取等號.

    綜上k的最小值為,此時［a,0］=［-,0］.