Question

已知曲線C：y=4^x，C_n：y=4^x+n（n∈N+），從C上的點Q_n（x_n，y_n）作x軸的垂線，交C_n于點P_n，再從點P_n作y軸的垂線，交C于點Q_n+1（x_n+1，y_n+1），設(shè)x₁=1，a_n=x_n+1-x_n，bn=

yn+1

yn

．
（1）求數(shù)列{x_n}的通項公式；
（2）記cn=

3×5n

2n+2×(bn-1)

，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，求證：T2n-1≤

5

3

×[1-(

5

8

)2n-1]；
（3）若已知

d1

2

+

d2

22

+

d3

23

+…+

dn

2n

=2n-1(n∈N*)，記數(shù)列{a_n}的前n項和為A_n，數(shù)列{d_n}的前n項和為B_n，試比較A_n與

Bn-2

4

的大小．

Answer 1

分析：（1）依題意點P_n的坐標為（x_n，y_n+1），故yn+1=4xn+n=4xn+1，從而能求出數(shù)列{x_n}的通項公式．
（2）由cn=

3×5n

2n+2×(4n-1)

，知

cn+1

cn

=

5×4n-5

8×4n-2

＜

5×4n-5

8×4n-8

＜

5

8

，當n≥2時，cn＜

5

8

cn-1＜(

5

8

)2cn-2＜…＜(

5

8

)n-1c1=(

5

8

)n，故T_2n-1=c₁+c₂+…+c_2n-1≤

5

8

+(

5

8

)2+…+(

5

8

)2n-1．由此能夠證明T2n-1≤

5

3

×[1-(

5

8

)2n-1]；
（3）由a_n=x_n+1-x_n=n，知An=

n(n+1)

2

，由

d1

2

+

d2

22

+

d3

23

+…+

dn

2n

=2n-1，知

d1

2

+

d2

22

+

d3

23

+…+

dn-1

2n-1

=2(n-1)-1(n≥2)，故

dn

2n

=2，n≥2，由此能夠比較A_n與

Bn-2

4

的大�。�

解答：解：（1）依題意點P_n的坐標為（x_n，y_n+1），
∴yn+1=4xn+n=4xn+1，
∴x_n+1=x_n+n，
∴x_n=x_n-1+n-1=x_n-2+（n-2）+（n-1）=…=x₁+1+2+…+（n-1）=

n(n-1)

2

+1．
（2）∵cn=

3×5n

2n+2×(4n-1)

，
∴

cn+1

cn

=

5×4n-5

8×4n-2

＜

5×4n-5

8×4n-8

＜

5

8

，…（5分）
∴當n≥2時，cn＜

5

8

cn-1＜(

5

8

)2cn-2＜…＜(

5

8

)n-1c1=(

5

8

)n，
∴T_2n-1=c₁+c₂+…+c_2n-1≤

5

8

+(

5

8

)2+…+(

5

8

)2n-1=

5

3

×[1-(

5

8

)2n-1]，（當n=1時取“=”）．…（8分）
（3）∵a_n=x_n+1-x_n=n，
∴An=

n(n+1)

2

，
由

d1

2

+

d2

22

+

d3

23

+…+

dn

2n

=2n-1，
知

d1

2

+

d2

22

+

d3

23

+…+

dn-1

2n-1

=2(n-1)-1(n≥2)，
∴

dn

2n

=2，n≥2，
而d₁=2，
∴  dn=

2，n=1 2n+1，n≥2

，
于是Bn=d1+d2+d3+…+dn=2+23+24+…+2n+1=2+22+23+24+…+2n+1-4
=

2(2n+1-1)

2-1

-4=2n+2-6．
∴

Bn-2

4

=2n-2．…（10分）
當n=1，2時 An=

n(n+1)

2

＞2n-2=

Bn-2

4

；
當n=3時，An=

n(n+1)

2

=2n-2=

Bn-2

4

當n≥4時，An=

n(n+1)

2

＜2n-2=

Bn-2

4

下面證明：當n≥4時，An=

n(n+1)

2

＜2n-2=

Bn-2

4

證法一：（利用組合恒等式放縮）
當n≥4時，2n-2=

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n-1 n

+

C

n n

-2=

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n-1 n

＞n+

n(n-1)

2

+n=

n2+3n

2

＞

n(n+1)

2

，
∴當n≥4時，An＜

Bn-2

4

…（13分）
證法二：（函數(shù)法）∵n≥4時，

n(n+1)

2

＜2ⁿ-2?

n(n+1)

2

-2n+2＜0
構(gòu)造函數(shù)h(x)=

x(x+1)

2

-2x+2，x∈[4，+∞)，h′(x)=x-2xln2+

1

2

[h'（x）]'=h''（x）=1-2^xln²2
∴當x∈[4，+∞）時，h''（x）=1-2^xln²2＜0
∴h'（x）=x-2^xln2在區(qū)間[4，+∞）是減函數(shù)，
∴當x∈[4，+∞）時，h′(x)=x-2xln2+

1

2

＜h′(4)=

9

2

-16ln2＜

9

2

-16×

1

2

=-

7

2

＜0
∴h(x)=

x(x+1)

2

-2x+2在區(qū)間[4，+∞）是減函數(shù)，
∴當x∈[4，+∞）時，h(x)=

x(x+1)

2

-2x+2＜h(4)=

4×5

2

-24+2=-4＜0
從而n≥4時，

n(n+1)

2

-2n+2＜0，即

n(n+1)

2

＜2ⁿ-2，
∴當n≥4時，An＜

Bn-2

4

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法、不等式的證明和兩個表達式大小的比較，具體涉及到數(shù)列與不等式的綜合運用，放縮法的應(yīng)用和構(gòu)造法的應(yīng)用．