Question

若函數(shù)f（x）=x⁴+ax³+bx²+cx+d．
（1）當(dāng)a=d=-1，b=c=0時(shí)，若函數(shù)f（x）的圖象與x軸所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積分別為m，n．
（i）求證：f（x）的圖象與x軸恰有兩個(gè)交點(diǎn)；
（ii）求證：m²=n-n³．
（2）當(dāng)a=c，d=1時(shí)，設(shè)函數(shù)f（x）有零點(diǎn)，求a²+b²的最小值．

Answer 1

分析：（1）（i）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)f(

3

4

)＜0，f（-1）＞0，f（2）＞0結(jié)合根的存在性定理可證得結(jié)論；
（ii）設(shè)x₁，x₂是方程f（x）=0的兩個(gè)實(shí)根，則f（x）有因式（x-x₁）（x-x₂）=x²-mx+n，且可令f（x）=（x²-mx+n）（x²+px+q），于是有（x²-mx+n）（x²+px+q）=x⁴-x³-1，分別比較該式中常數(shù)項(xiàng)和含x³的項(xiàng)的系數(shù)，以及含x和x²的項(xiàng)的系數(shù)，消去p與q可證得結(jié)論；
（2）方程化為x2+ax+b+

a

x

+

1

x2

=0，令t=x+

1

x

，方程為t²+at+b-2=0，|t|≥2，即有絕對(duì)值不小于2的實(shí)根，設(shè)g（t）=t²+at+b-2=0（|t|≥2），討論對(duì)稱軸與區(qū)間[-2，2]的位置關(guān)系，然后建立不等關(guān)系，解之即可求出所求．

解答：（本題滿分16分）
解：（1）（i）當(dāng)a=d=-1，b=c=0時(shí)，f（x）=x⁴-x³-1
∴f'（x）=4x³-3x²=x²（4x-3），
所以x=

3

4

是使f（x）取到最小值的唯一的值，且在區(qū)間(-∞，

3

4

)上，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
在區(qū)間(

3

4

，+∞)上，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
因?yàn)?span id="na5d4ae" class="MathJye">f(

3

4

)＜0，f（-1）＞0，f（2）＞0，
所以f（x）的圖象與x軸恰有兩個(gè)交點(diǎn)． …（4分）
（ii）設(shè)x₁，x₂是方程f（x）=0的兩個(gè)實(shí)根，則f（x）有因式（x-x₁）（x-x₂）=x²-mx+n，
且可令f（x）=（x²-mx+n）（x²+px+q）．
于是有（x²-mx+n）（x²+px+q）=x⁴-x³-1．（*）
分別比較（*）式中常數(shù)項(xiàng)和含x³的項(xiàng)的系數(shù)，得nq=-1，p-m=-1，
解得q=-

1

n

，p=m-1．
所以x⁴-x³-1=(x2-mx+n)[x2+(m-1)x-

1

n

]．①
分別比較①式中含x和x²的項(xiàng)的系數(shù)，得

m

n

+n(m-1)=0，…②，
-

1

n

+n-m(m-1)=0，③
②×m+③×n得-n+n³+m²=0，即n-n³=m²．…（10分）
∴m²=n-n³．
（2）方程化為：x2+ax+b+

a

x

+

1

x2

=0，
令t=x+

1

x

，方程為t²+at+b-2=0，|t|≥2，即有絕對(duì)值不小于2的實(shí)根．
設(shè)g（t）=t²+at+b-2=0（|t|≥2），
當(dāng)-

a

2

＜-2，即a＞4時(shí)，只需△=a²-4b+8≥0，此時(shí)，a²+b²≥16；
當(dāng)-

a

2

＞2，即a＜-4時(shí)，只需△=a²-4b+8≥0，此時(shí)，a²+b²≥16；
當(dāng)-2≤-

a

2

≤2，即-4≤a≤4時(shí)，只需（-2）²-2a+b-2≤0或2²+2a+b-2≤0，
即-2a+b+2≤0或2a+b+2≤0，此時(shí)a2+b2≥

4

5

．
∴a²+b²的最小值為

4

5

．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．