Question

在xOy平面上有一系列的點P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）…對于正整數(shù)n，點P_n位于函數(shù)y=x²（x≥0）的圖象上，以點P_n為圓心的⊙P_n與x軸相切，且⊙P_n與⊙P_n+1又彼此外切，若x₁=1，且x_n+1＜x_n．
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）設⊙P_n的面積為S_n，，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圓Pn與P（n+1）相切，且P（n+1）與x軸相切可知R_n=Y_n，R_（n+1）=Y_（n+1），且兩圓心間的距離就等于兩半徑之和進而得到
=Y_n+Y_（n+1），整理得，=2，原式得證．
（2）由（1）可知=2n-1，進而求得x_n的通項公式，代入⊙P_n的面積即可求得的表達式為S_n=（）⁴，要證＜，只需證明（x₁）²+（x₂）²+…（x_n）²＜即可．根據(jù)1+（）²+（）²+…（）²=1+（）²+（）²+（）²+…（）2，且1+（）²+（）²+（）²+…（）²＜2，進而可得1+（）²+（）²+…（）＜，進而得T_n=＜
解答：（1）證明：∵圓Pn與P（n+1）相切，且P（n+1）與x軸相切，
所以，R_n=Y_n，R_（n+1）=Y_（n+1），且兩圓心間的距離就等于兩半徑之和，即
=Y_n+Y_（n+1）
整理就可以得到，=2
故數(shù)列是等差數(shù)列
（2）S₁=π（x₁）⁴S₂=π（x₂）⁴…S_n=π（x_n）⁴
約去證明（x₁）²+（x₂）²+…（x_n）²＜即可
由（1）知（x1）²+（x₂）²+…（x_n）²
=1+（）²+（）²+…（）²
因為1+（）²+（）²+（）²+…（）2
=[1+（）²+（）²+…（）^2]+[1+（）²+（）²+（）²+…（）²]
即1+（）²+（）²+…（）²=1+（）²+（）²+（）²+…（）2
又因為 1+[（）²+（）²+（）²+（）²+（）²+（）²]+（）²+…
＜1+[（）²+（）²+（）²+（）²+（）²+（）²+8（）²+…
=1+++…=2
即就是1+（）²+（）²+（）²+…（）²＜2
所以 1+（）²+（）²+…（）＜×2=
即1+（）²+（）²+…（）＜
所以＜
即
點評：本題主要考查了數(shù)列在實際中的應用．本題在數(shù)列求和問題時，巧妙的用了分組法．