Question

（2012•煙臺三模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，直線x=

a2

c

與x軸交于點(diǎn)B且與直線y=

b

a

x交于點(diǎn)C，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

OB

=2

OA

，

OA

•

OC

，過點(diǎn)F的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，點(diǎn)P為點(diǎn)M直線x=

a2

c

的對稱點(diǎn)
（1）求橢圓的方程；
（2）求證：N、B、P三點(diǎn)共線；
（3）求△BMN的面積．的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)

OB

=2

OA

，

OA

•

OC

=8，可得

a2

c

=2a且

a3

c

=8，從而可求橢圓方程；
（2）設(shè)直線l：y=k（x-1），與橢圓方程聯(lián)立

y=k(x-1) 3x2+4y2=12

，利用韋達(dá)定理，同時(shí)確定

BP

，

BN

的坐標(biāo)，證明

BP

，

BN

共線，即可證得結(jié)論；
（3）求出d為B到l的距離d=

3|k|

1+k2

，弦長|MN|=

1+k2

(x1+x2)-4x1x2

，即可表示出面積，從而可求△BMN的面積的最大值．

解答：（1）解：因?yàn)?span id="sft0e04" class="MathJye">

OB

=2

OA

，

OA

•

OC

=8，所以

a2

c

=2a且

a3

c

=8，所以a=2，c=1
所以b=

a2-c2

=

3

，所以橢圓方程為：

x2

4

+

y2

3

=1…（4分）
（2）證明：設(shè)直線l：y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
則由

y=k(x-1) 3x2+4y2=12

，消去y得（3+4k²）x-8k²x+4k²-12=0，
所以x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

…（6分）
由于P（8-x₁，y₁），

BP

=(4-x1，y1)，

BN

=(x2-4，y2)，
因?yàn)椋?-x₁）y₂-（x₂-4）y₁=4（y₁+y₂）-x₁y₂-y₁x₂=4k（x₁+x₂-2）-2kx₁x₂+k（x₁+x₂）=4k(

8k2

3+4k2

-2)-2k

4k2-12

3+4k2

+k

8k2

3+4k2

=0…（8分）
當(dāng)l⊥x軸時(shí)，也滿足
故

BP

，

BN

共線，所以N、B、P三點(diǎn)共線…（9分）
（3）解：記d為B到l的距離，則d=

3|k|

1+k2

，|MN|=

1+k2

(x1+x2)-4x1x2

，…（10分）
所以S=

1

2

d|MN|=

3

2

|k|

( 8k2 3+4k2 )2-4• 4k2-12 3+4k2

=

9

2

1- 8k2+9 16k4+24k2+9

＜

9

2

…（12分）
當(dāng)l⊥x軸時(shí)，S=

9

2

，…（13分）
所以△BMN的面積的最大值為

9

2

…（14分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三點(diǎn)共線，考查三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓方程的聯(lián)立，利用韋達(dá)定理解題．