Question

已知f（x），g（x）都是定義在R上的函數(shù)，若存在正實(shí)數(shù)m，n使得h（x）=mf（x）+ng（x）恒成立，則稱(chēng)h（x）為f（x），g（x）在R上的生成函數(shù)．若f(x)=sin

x

2

，g(x)=cosx．
（1）判斷函數(shù)y=sinkx，（k∈R）是否為f（x），g（x）在R上的生成函數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）記G（x）為f（x），g（x）在R上的生成函數(shù)，若G(

π

3

)=1，且G（x）的最大值為

9

8

，求G（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，函數(shù)y=sinkx，（k∈R）是f（x），g（x）在R上的生成函數(shù)，則存在正實(shí)數(shù)m，n使得sinkx=msin

x

2

+ncosx恒成立，通過(guò)取特殊值得出矛盾，從而解決問(wèn)題；
（2）由于G（x）為f（x），g（x）在R上的生成函數(shù)，則存在正實(shí)數(shù)m，n使得G（x）=msin

x

2

+ncosx恒成立，
再結(jié)合題中條件得出關(guān)于m，n 的方程，即可求得m，n，從而得到代G（x）的解析式．

解答：解：（1）若函數(shù)y=sinkx，（k∈R）是f（x），g（x）在R上的生成函數(shù)，
則存在正實(shí)數(shù)m，n使得sinkx=msin

x

2

+ncosx恒成立，
取x=0得：0=n，不符合n＞0這個(gè)條件，
故函數(shù)y=sinkx，（k∈R）不是為f（x），g（x）在R上的生成函數(shù)，
（2）∵G（x）為f（x），g（x）在R上的生成函數(shù)，若G(

π

3

)=1，
則存在正實(shí)數(shù)m，n使得G（x）=msin

x

2

+ncosx恒成立，
且msin

π

6

+ncos

π

3

=1，即：m+n=2，
故G（x）=(2-n)sin

x

2

+ncosx=(2-n)sin

x

2

+n(1-2sin  2

x

2

)
=(2-n)sin

x

2

-2nsin 2

x

2

+n
令sin

x

2

=t，則G（x）=-2nt²+（2-n）t+n，
根據(jù)其G（x）的最大值為

9

8

，
得到：n=1 或

4

9

代入m+n=2，得
m=1，n=1，或m=

14

9

，n=

4

9

故G（x）的解析式為：G（x）=sin

x

2

+cosx或G（x）=

14

9

sin

x

2

+

4

9

cosx．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的值域、函數(shù)恒成立問(wèn)題、三角變換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．