Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱CC₁，AA₁，BB₁都與左右的兩個(gè)底面垂直，D是側(cè)棱CC₁中點(diǎn)，直線AD與側(cè)面BB₁C₁C成角為45°．
（1）求此正三棱柱側(cè)棱CC₁長(zhǎng)；
（2）求二面角A-BD-C正切值．

Answer 1

分析：（1）取BC中點(diǎn)O，連接AO，DO，則∠ADO是直線AD與側(cè)面BB₁C₁C成角，由此利用題設(shè)條件能求出此正三棱柱側(cè)棱CC₁長(zhǎng)．
（2）以O(shè)C為x軸，以過(guò)O點(diǎn)平行于CC₁的直線為y軸，以O(shè)A為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法能求出二面角A-BD-C的正切值．

解答：解：（1）取BC中點(diǎn)O，連接AO，DO，則∠ADO是直線AD與側(cè)面BB₁C₁C成角，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，
∴AO=

4-1

=

3

，
∵D是側(cè)棱CC₁中點(diǎn)，直線AD與側(cè)面BB₁C₁C成角為45°，
∴CD=

( 3 )2-12

=

2

，
∴CC₁=2DC=2

2

．
（2）以O(shè)C為x軸，以過(guò)O點(diǎn)平行于CC₁的直線為y軸，以O(shè)A為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，

3

），B（-1，0，0），C（1，0，0），D（1，

2

，0），
∴

AB

=(-1，0，-

3

)，

AD

=（1，

2

，-

3

），
設(shè)

n

=（x，y，z）是平面ABD的一個(gè)法向量，則

n

•

AB

=0，

n

•

AD

=0，
∴

-x- 3 z=0 x+ 2 y- 3 z=0

，解得

n

=（

3

，-

6

，-1）
設(shè)二面角A-BD-C的平面角為θ，
∵面BCD的一個(gè)法向量是

m

=（0，0，

3

），
∴cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

- 3

10 • 3

|=

10

10

．
∴tanθ=3．
故二面角A-BD-C的正切值為3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三棱柱側(cè)棱長(zhǎng)的求地，考查二面角正切值的求法，解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系進(jìn)而利用空間向量解決空間中的空間角與空間距離問(wèn)題．