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        1. 如圖,已知圓O的直徑AB長度為4,點D為線段AB上一點,且,點C為圓O上一點,且.點P在圓O所在平面上的正投影為點D,PD=BD.
          (Ⅰ)求證:CD⊥平面PAB;
          (Ⅱ)求PD與平面PBC所成的角的正弦值.

          【答案】分析:(I)由已知可得△ACO為等邊三角形,從而CD⊥AO.由點P在圓O所在平面上的正投影為點D,可得PD⊥平面ABC,得到PD⊥CD,再利用線面垂直的判定定理即可證明;
          (II)過點D作DE⊥CB,垂足為E,連接PE,再過點D作DF⊥PE,垂足為F.得到DF⊥平面PBC,故∠DPF為所求的線面角.在Rt△DEB中,利用邊角關系求出DE即可.
          解答:(Ⅰ)證明:連接CO,由3AD=DB知,點D為AO的中點,
          又∵AB為圓O的直徑,∴AC⊥CB,
          知,∠CAB=60°,
          ∴△ACO為等邊三角形,從而CD⊥AO.
          ∵點P在圓O所在平面上的正投影為點D,
          ∴PD⊥平面ABC,又CD?平面ABC,
          ∴PD⊥CD,
          由PD∩AO=D得,CD⊥平面PAB.
          (Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知CD=,PD=DB=3,
          過點D作DE⊥CB,垂足為E,連接PE,再過點D作DF⊥PE,垂足為F.
          ∵PD⊥平面ABC,又CB?平面ABC,
          ∴PD⊥CB,又PD∩DE=D,
          ∴CB⊥平面PDE,又DF?平面PDE,
          ∴CB⊥DF,又CB∩PE=E,
          ∴DF⊥平面PBC,故∠DPF為所求的線面角.
          在Rt△DEB中,DE=DBsin30°=,,

          點評:熟練掌握等邊三角形的判定與性質、正投影的意義、線面垂直的判定與性質定理、線面角的定義與作法、直角三角形的邊角關系等是解題的關鍵.
          練習冊系列答案
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          1
          3
          DB
          ,點C為圓O上一點,且BC=
          3
          AC
          .點P在圓O所在平面上的正投影為點D,PD=BD.
          (Ⅰ)求證:CD⊥平面PAB;
          (Ⅱ)求PD與平面PBC所成的角的正弦值.

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          1
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          ,點C為圓O上一點,且BC=
          3
          AC
          .點P在圓O所在平面上的正投影為點D,PD=BD.
          (1)求證:CD⊥平面PAB;
          (2)求點D到平面PBC的距離.

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          (Ⅰ)若∠PAB=30°,求以MN為直徑的圓方程;

          (Ⅱ)當點P變化時,求證:以MN為直徑的圓必過圓O內的一定點。

           

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