Question

（本題滿分12分）

如圖，已知橢圓的長軸為，過點(diǎn)的直線與軸垂直，直線所經(jīng)過的定點(diǎn)恰好是橢圓的一個頂點(diǎn)，且橢圓的離心率

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)是橢圓上異于、的任意一點(diǎn)，軸，為垂足，延長到點(diǎn)使得，連接并延長交直線于點(diǎn)，為的中點(diǎn)．試判斷直線與以為直徑的圓的位置關(guān)系．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）直線與以為直徑的圓相切。

【解析】本試題主要是考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。

（1）將已知直線方程整理得到過定點(diǎn)（0，1）,從而得到b的值，然后結(jié)合離心率公式得到其方程。

（2）設(shè)出點(diǎn)P，利用PQ=PH，得到關(guān)系式，進(jìn)而化簡得到直線的方程，以及向量的坐標(biāo)得到證明。

解：（1）將整理得，解方程組得直線所經(jīng)過的定點(diǎn)為。

由離心率，得。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ……5分

（1） 設(shè)，則。，

，

點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上，即點(diǎn)在以為直徑的圓上。

又直線l的方程為。令，得。

又，的中點(diǎn)，

，直線與以為直徑的圓相切……12分