Question

已知常數(shù)，在矩形中，，，為的中點(diǎn)．點(diǎn)分別在上移動(dòng)，且，為與的交點(diǎn)（如圖）．問(wèn)是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使點(diǎn)到這兩點(diǎn)的距離的和為定值？若存在，求出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)及此定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為橢圓的一部分，點(diǎn)到該橢圓焦點(diǎn)的距離和定為定值．
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)，的距離之和為定值．
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)，的距離之和為定值．

根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點(diǎn)坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點(diǎn)，使得點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離的和為定值．按題意有，，，．
設(shè)，
因此有，，．
直線的方程為，       ①
直線的方程為．      ②
從①②消去參數(shù)，得點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程，
整理得．
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為橢圓的一部分，點(diǎn)到該橢圓焦點(diǎn)的距離和定為定值．
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)，的距離之和為定值．
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)，的距離之和為定值．