Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a，b＞0）與雙曲線G：x²-y²=4，若橢圓E的頂點(diǎn)恰為雙曲線G的焦點(diǎn)，橢圓E的焦點(diǎn)恰為雙曲線G的頂點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）是否存在一個以原點(diǎn)為圓心的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點(diǎn)A、B，且

OA

⊥

OB

？若存在請求出該圓的方程，若不存在請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)即可得出；
（2）假設(shè)存在一個以原點(diǎn)O為圓心的圓x²+y²=r²滿足條件，利用直線與橢圓相交得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用直線與圓相切的性質(zhì)及垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出．

解答：解：（1）由雙曲線G：x²-y²=4，得焦點(diǎn)(±2

2

，0)，頂點(diǎn)（±2，0）．
∵橢圓E的頂點(diǎn)恰為雙曲線G的焦點(diǎn)，∴a2=(2

2

)2=8，c²=2²=4，∴b²=8-4=4．
∴橢圓E的方程為

x2

8

+

y2

4

=1；
（2）假設(shè)存在一個以原點(diǎn)O為圓心的圓x²+y²=r²，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點(diǎn)A、B，且

OA

⊥

OB

．
當(dāng)切線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為y=kx+t，與橢圓的兩個交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=kx+t x2 8 + y2 4 =1

，消去y得到關(guān)于x的方程（1+2k²）x²+4ktx+2t²-8=0，
必須滿足△=16k²t²-4（1+2k²）（2t²-8）＞0，即8k²+4＞t²（*）．
∴x₁+x₂=-

4kt

1+2k2

，x1x2=

2t2-8

1+2k2

．（**）
∵直線l與圓x²+y²=r²，∴

|t|

1+k2

=r，化為t²=r²（1+k²）．①
∵

OA

⊥

OB

，∴x₁x₂+y₁y₂=0．
又y₁=kx₁+t，y₂=kx₂+t．
代入上式得(1+k2)x1x2+kt(x1+x2)+t2=0，
把（**）代入上式得

(1+k2)(2t2-8)

1+2k2

-

4k2t2

1+2k2

+t2=0，
化為3t²=8（k²+1），②滿足（*）式．
由①②可得r2=

8

3

．
因此此時存在滿足條件的圓為x2+y2=

8

3

．
當(dāng)切線l的斜率不存在時，也滿足上述方程．
綜上可知：存在一個以原點(diǎn)O為圓心的圓x²+y²=

8

3

，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點(diǎn)A、B，且

OA

⊥

OB

．

點(diǎn)評：熟練掌握橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)、直線與橢圓相交得到根與系數(shù)的關(guān)系、直線與圓相切的性質(zhì)、垂直與數(shù)量積的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．