Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x3+ax²+bx，a，b∈R
（1）曲線C：y=f（x）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，2），且曲線C在點(diǎn)P處的切線平行于直線y=2x+1，求a，b的值；
（2）在（1）的條件下試求函數(shù)g（x）=m[f（x）-

7

3

x]（m∈R，m≠0）的極小值．

Answer 1

分析：（1）y=f（x）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，2），則點(diǎn)P的坐標(biāo)適合函數(shù)解析式，再根據(jù)曲線C在點(diǎn)P處的切線平行于直線y=2x+1，可知f^′（1）=2，聯(lián)立后可求解a，b的值；
（2）把（1）中求得的a，b代入函數(shù)解析式，再把f（x）代入g（x）后求導(dǎo)函數(shù)，分類討論m后，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的符號(hào)判斷單調(diào)性，從而求出函數(shù)的極小值．

解答：解：（1）由f（x）=

1

3

x3+ax²+bx，得：f^′（x）=x²+2ax+b，
因?yàn)閥=f（x）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，2），且曲線C在點(diǎn)P處的切線平行于直線y=2x+1，
所以，

f(1)= 1 3 +a+b=2 f′(1)=1+2a+b=2

，解得：

a=- 2 3 b= 7 3

．
所以a=-

2

3

，b=

7

3

．
（Ⅱ）由（1）知f(x)=

1

3

x3-

2

3

x2+

7

3

x，
則g（x）=m[

1

3

x3-

2

3

x2+

7

3

x-

7

3

x]
=

m

3

(x3-2x2)．
g′(x)=mx(x-

4

3

)，
當(dāng)m＞0時(shí)，g^′（x）在（-∞，0），（

4

3

，+∞）上大于0，在（0，

4

3

）上小于0，
所以，g（x）在（-∞，0），（

4

3

，+∞）上遞增，在（0，

4

3

）上遞減，
所以g（x）的極小值為g（

4

3

）=

m

3

[(

4

3

)3-2×(

4

3

)2]=-

32

81

m；
當(dāng)m＜0時(shí)，g^′（x）在（-∞，0），（

4

3

，+∞）上小于0，在（0，

4

3

）上大于0，
g（x）在（-∞，0），（

4

3

，+∞）上遞減，在（0，

4

3

）上遞增，
所以g（x）的極小值為g（0）=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)知識(shí)及其應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力及抽象概括能力，考查函數(shù)與方程、分類與整合、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等思想方法，此題是中檔題．