Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)是偶函數(shù)，求實數(shù)的值；

（2）若函數(shù)，關(guān)于的方程有且只有一個實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義建立方程關(guān)系即可求的值；

（2）根據(jù)題意方程有且只有一個實數(shù)根，等價于只有一個實數(shù)根，等價于有且只有一個實數(shù)根，令，則需關(guān)于的方程有且只有一個大于的實數(shù)根，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)來分析。

解：（1）因為是偶函數(shù)，

所以對任意的成立，

所以對任意的成立，

所以對任意的成立，

所以.

（2）因為，，

所以，

所以

設(shè)，則有關(guān)于的方程.

若，即，則需關(guān)于的方程有且只有一個大于的實數(shù)根.

設(shè)，則，

所以，

所以成立，

所以，滿足題意；

若，即時，解得，不滿足題意；

若，即時，，且，

所以.

當時，關(guān)于的方程有且只有一個實數(shù)根，滿足題意.

綜上，所求實數(shù)的取值范圍是..