Question

f（x）=lg（a^x-b^x）（a＞1＞b＞0）
（1）求f（x）的定義域；
（2）問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)a、b，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）的值恰取到一切正數(shù)，且f（2）=lg2？若存在，求出a、b的值，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零得，a^x-b^x＞0，再由a＞1＞b＞0和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求出不等式解集即函數(shù)的定義域．
（2）令 g（x）=a^x-b^x ，由題意可得g（1）=1，f（2）=lg2，解方程組求得a、b的值．

解答：解：（1）由a^x-b^x＞0 （a＞1＞b＞0）得 

a

b

＞1，
故  (

a

b

)x＞1，∴x＞0，∴f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
（2）令 g（x）=a^x-b^x ，又a＞1＞b＞0，∴g（x）=a^x-b^x ，在（0，+∞）上為增函數(shù)．
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）的值取到一切正數(shù)等價(jià)于x∈（1，+∞）時(shí)，g（x）＞1，
故g（1）=1，∴a-b=1，①又 f（2）=lg2，∴a²-b²=2，②
由①②得 a=

3

2

，b=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，屬于基礎(chǔ)題．