Question

交5元錢，可以參加一次摸獎。一袋中有同樣大小的球10個，其中有8個標有1元錢，2個標有5元錢，摸獎者只能從中任取2個球，他所得獎勵是所抽2球的錢數(shù)之和（設為ξ），求抽獎人獲利的數(shù)學期望。

Answer 1

解： （1）證明：以D為原點，DA，DC，DD₁所在直線為x軸，y軸，z軸建立直角坐標系，設正方體的棱長為2a，則由條件可得

D(0,0,0), A(2a,0,0), C(0,2a,0), D₁(0,0,2a), E(2a, 2a, a), F(0, a, 0)，A₁(2a,0,2a)

=（-2a,0,0）,  =(0, a, -2a),

     ∴=-2a×0+0×a+0×(-2a)=0,  

     ∴，即。    

（2）解：∵，=(0, a, -2a),

∴=0×0+2a×a+a×(-2a)=0           

∴cos<,>=,  

即,的夾角為90°，所以直線AE與D₁F所成的角為直角。

（3）證明：由（1）、（2）知D₁F⊥AD，D₁F⊥AE, 而AD∩AE=A，

           ∴D₁F⊥平面AED，    

           ∵D₁F平面A₁FD₁，

           ∴平面AED⊥平面A₁FD₁.   

方法2（綜合法）

（1）證明：因為AC₁是正方體，所以AD⊥面DC₁。

           又DF₁DC₁，所以AD⊥D₁F.     

（2）取AB中點G，連結A₁G，F(xiàn)G，           

     因為F是CD的中點，所以GF∥AD，

又A₁D₁∥AD，所以GF∥A₁D₁，

故四邊形GFD₁A₁是平行四邊形，A₁G∥D₁F。

設A₁G與AE相交于H，則∠A₁HA是AE與D₁F所成的角。   

因為E是BB₁的中點，所以Rt△A₁AG≌△ABE, ∠GA₁A=∠GAH,從而∠A₁HA=90°,

即直線AE與D₁F所成的角為直角。                 

（3）與上面解法相同。