Question

已知復數(shù)z₁=（m²-2m+3）-mi，z₂=2m+（m²+m-1）i
其中i是虛數(shù)單位，m∈R
（1）若z₁，z₂互為共軛復數(shù)，求實數(shù)m的值
（2）若z₁-z₂是負實數(shù)，求實數(shù)m的取值集合
（3）求|z₁+z₂|的最小值．

Answer 1

分析：（1）若 z₁，z₂互為共軛復數(shù)，則有

m2-2m+3=2m m=m2+m-1

，由此解得，m的值．
（2）化簡z₁-z₂=（m²-4m+3）-（m²+2m-1）i，依題意，有

m2-4m+3＜0 m2+2m-1=0

，由此求得所以實數(shù)m的取值集合．
（3）化簡z₁+z₂為（m²+3）-（m²-1）i，可得 |z1+z2|=

(m2+3)2+(m2-1)2

=

2m4+4m2+10

；再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的最小值．

解答：解：（1）若 z₁，z₂互為共軛復數(shù)，則有

m2-2m+3=2m m=m2+m-1

，…（2分）
解得，m=1．…（4分）
（2）根據(jù) z1-z2=[(m2-2m+3)-2m]+[(-m)-(m2+m-1)]i=（m²-4m+3）-（m²+2m-1）i，…（5分）
依題意，有

m2-4m+3＜0 m2+2m-1=0

．…（7分）
解得

1＜m＜3 m=-1± 2

無解，所以實數(shù)m的取值集合為∅．…（9分）
（3）z1+z2=[(m2-2m+3)+2m]+[(-m)+(m2+m-1)]i=（m²+3）-（m²-1）i．…（10分）
所以 |z1+z2|=

(m2+3)2+(m2-1)2

=

2m4+4m2+10

=

2(m2+1)2+8

．（12分）
因為m²≥0，所以當m²=0時，|z₁+z₂|取得最小值

10

．…（14分）

點評：本題主要考查復數(shù)的基本概念，復數(shù)求模，屬于基礎(chǔ)題．