Question

設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，（是實數(shù)）。

（1）當(dāng)時，求f(x)的解析式；

（2）若函數(shù)f(x)在（0,1]上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（3）是否存在實數(shù)，使得當(dāng)時，f(x)有最大值1.

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）

（3）存在使得當(dāng)時，f(x)有最大值1

【解析】本試題主要是考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性以及函數(shù)的最值的綜合運(yùn)用。

（1）因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時的解析式，利用偶函數(shù)的的對稱性得到結(jié)論。

（2）因為給定區(qū)間單調(diào)遞增，即當(dāng)時，

所以因為f(x)在(0,1]上是增函數(shù)，所以

（3）對于參數(shù)a進(jìn)行分類討論得到最值。

解：（1）設(shè)則   ---------1分

所以 -------2分

因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(-x)=f(x)    ----------3分

所以   ---------4分

（2）當(dāng)時，

所以

因為f(x)在(0,1]上是增函數(shù)，所以  -------------6分

所以a的取值范圍是   ---------7分

（3）(i)當(dāng)時，由（2）知f（x）在區(qū)間(0,1]上是增函數(shù)

所以不合題意，舍去

（ii）當(dāng)時，在區(qū)間（0,1]上，

令   -------------8分

由下表

	＋	0	－
	增	極大值	減

f(x)在處取得最大值 ----------9分

  -------------10分

所以   --------11分

注意到，所以符合題意 --------12分

(iii)當(dāng)時，在區(qū)間（0,1]上，，

所以f(x)為減函數(shù)，無最大值  --------13分

綜上所述，存在使得當(dāng)時，f(x)有最大值1、